1500の約数のうち20の倍数でないものの総和は？

先日思いつきで作ったこの問題、私のとった解法①は、1500の約数のうち、「因数4を含まないものの総和」と、「因数5を含まないものの総和」の和から、「因数4も因数5も含まないものの総和」を引く､という手法でした。

一般的には、解法②「1500の約数全体の総和」から「1500の約数のうち、20の倍数であるものを引く」という発想になると思います。こちらの方がわかりやすいのだとは思うのですが、なぜ私は上記のような解法をとったのでしょうか。 実は「大きい数への拒絶感」なんです。 解法① 集合の和（包含排除原理）による算出（私はこれを、余事象（本問では場合の数なので「補集合」）的なるものの発想、と称しています）

「20の倍数でない」＝「因数4（2の2乗）を持たない」または「因数5を持たない」ものすべてを数え上げます。 ※計算を簡単にするため、3の因数の和（3の0乗 + 3の1乗 = 4）を共通して掛けます。

1. 「因数4（2の2乗）を含まないもの」の総和 (A) 2の因数は「2の0乗(1)と2の1乗(2)」のみ、5の因数はすべてOK。

• (1 + 2) (1 + 3) (1 + 5 + 25 + 125)

• 3 4 156 = 1872

2. 「因数5を含まないもの」の総和 (B) 2の因数はすべてOK、5の因数は「5の0乗(1)」のみ。

• (1 + 2 + 4) (1 + 3) (1)

• 7 4 1 = 28

3. 「因数4も因数5も含まないもの」の総和 (AかつB) 上記1と2で重複して数えている部分を引きます。

• (1 + 2) (1 + 3) (1)

• 3 4 1 = 12

【解法1の結果】 (A + B) - (AかつB) = (1872 + 28) - 12 = 1888 解法② 全体から20の倍数を引く（余事象）

1. 1500の約数全体の総和 (全体)

• (1 + 2 + 4) (1 + 3) (1 + 5 + 25 + 125)

• 7 4 156 = 4368

2. 20（2の2乗 * 5）の倍数であるものの総和 (余事象) 20の倍数になるには「2の2乗」と「5の1乗以上」が必須です。

• 2の因数：2の2乗(4)のみ

• 3の因数：1 + 3 = 4

• 5の因数：5の1乗 + 2乗 + 3乗 = 5 + 25 + 125 = 155

• 4 4 155 = 2480

【解法2の結果】 全体 - 余事象 = 4368 - 2480 = 1888 どうでしょう。解法①の方が解法②より扱う数字が小さいですよね。大きい数になると、計算が面倒になり、ミスが増えやすくなる、という私自身の経験則から、無意識に安全性の高い方法を選択していた、ということなんですね。 この問題の場合、結果としてどちらも4桁で、計算の面倒さに大した差違はないのですが、問題によっては大きな差が出てしまう場合もあるんです。 実はまだ別解もあります。 解法③ 3つのグループに分類して加える

「20の倍数（2の2乗 * 5の1乗以上）ではないもの」を、重なりがない3つのグループに分けて合計します。 ※すべての計算において、3の因数の和（3の0乗 + 3の1乗 = 4）を共通して掛けます。

1. 「因数5を含むが、因数4（2の2乗）は含まない」グループ

• 因数2：2の0乗(1) + 2の1乗(2) = 3

• 因数5：5の1乗(5) + 5の2乗(25) + 5の3乗(125) = 155

• 式：3 4 155 = 1860

2. 「因数4（2の2乗）を含むが、因数5は含まない」グループ

• 因数2：2の2乗(4) = 4

• 因数5：5の0乗(1) = 1

• 式：4 4 1 = 16

3. 「因数4も因数5も含まない」グループ

• 因数2：2の0乗(1) + 2の1乗(2) = 3

• 因数5：5の0乗(1) = 1

• 式：3 4 1 = 12

【解法3の結果】 1860 + 16 + 12 = 1888 三つの解法をベン図を書いて考える、というところまで突き詰めるのが最良の勉強法となります。ぜひチャレンジしてみてくださいね。