（（（a=625m　a-1=16nまでは同じです。））） 以下合同式は16を法として　625≡1より、 a≡625m≡m　すなわち、a-1≡m-1　となるので、a-1≡0となるのは、m≡1の時である。 したがって、m=16k+1（kは0以上の整数）とおける 3<=a<=9999の範囲であるから、k=0すなわちm=1の時にもみ条件を満たす。従って求めるaは625

先日思いつきで作ったこの問題、私のとった解法①は、1500の約数のうち、「因数4を含まないものの総和」と、「因数5を含まないものの総和」の和から、「因数4も因数5も含まないものの総和」を引く､という手法でした。 一般的には、解法②「1500の約数全体の総和」から「1500の約数のうち、20の倍数であるものを引く」という発想になると思います。こちらの方がわかりやすいのだとは思うのですが、なぜ私は上記のような解法をとったのでしょうか。 実は「大きい数への拒絶感」なんです。 解法① 集合の和（包含排除原理）による算出（私はこれを、余事象（本問では場合の数なので「補集合」）的なるものの発想、と称しています） 「20の倍数でない」＝「因数4（2の2乗）を持たない」または「因数5を持たない」ものすべてを数え上げます。 ※計算を簡単にするため、3の因数の和（3の0乗 + 3の1乗 = 4）を共通して掛けます。 1. 「因数4（2の2乗）を含まないもの」の総和 (A) 2の因数は「2の0乗(1)と2の1乗(2)」のみ、5の因数はすべてOK。 (1 + 2) (1 + 3) (1 + 5...

これは質問の多かったところでもあります。特に存在性の証明については 何人かから質問がありました。 存在性の証明：なぜ「パーツ」は必ず作れるのか？ 私たちがやりたいのは、以下の2つの条件を同時に満たす数字 x を見つけることです。 x を m で割ると a 余る x を n で割ると b 余る （※前提として、 m と n は「互いに素」という、共通の約数を持たない関係だとします） 1. 準備：魔法の等式 数学には、**「m と n が互いに素なら、mp + nq = 1 となる整数 p, q が必ず見つかる」**という超強力なルールがあります。これが、パーツを作るための「種」になります。 2. 実際にパーツを組み立てる 魔法の等式 mp + nq = 1 を、少しだけ形を変えてみましょう。 nq = 1 - mp この式を、「m で割ったとき」と「n で割ったとき」で考えてみます。 m で割ると？ ： 右側が「1 － (mの倍数)」の形なので、 余りは 1 になります。 n で割ると？ ： 左側が「nq」つまり n の倍数そのものなので、 割り切れて余りは...